Les énigmes du chat...

Enigme N° 9

Merci à Essalhi Nawal qui vous propose un superbe paradoxe...

Soit S = 2 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -......

Considérons la suite T = 2 - ( 1 - 1 ) - ( 1 - 1 ) - (1 - 1 ) - .....
En supprimant les parenthèses, on constate que T = S. En effet:
T = 2 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -.......
D'autre part, si on calcule les parenthèses, T = 2 - 0 - 0 - 0 - ...= 2, donc S = 2.

Considérons maintenant la suite R = ( 2 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) +.....
En supprimant les parenthèses, on constate que R = S. En effet:
R = 2 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...
D'autre part, si on calcule les parenthèses, R = 1 + 0 + 0 + 0 + ...= 1, donc S = 1 !

Où est le problème?

Si vous connaissez une énigme amusante ou originale, n'hésitez pas à nous la proposer avec la solution et le nom de l'auteur (si vous le connaissez ; si c'est vous, c'est encore mieux !).
Nous nous ferons un plaisir de la publier dans les semaines à venir !

Le problème vient précisément du fait qu'il est impossible de dire si S vaut 2 ou 1. En effet, si on n'utilise qu'un nombre impair de termes de la suite S, S vaut 2. Par exemple :
Avec 1 terme: S = 2
Avec 3 termes: S = 2 - 1 + 1 = 2
Avec 5 termes, S = 2 - 1 + 1 - 1 + 1 = 2.

Par contre, si on utilise un nombre pair de termes de la suite S, S vaut 1. Par exemple :
Avec 2 termes: S = 2 - 1 = 1.
Avec 4 termes: S = 2 - 1 + 1 - 1 = 1.
Avec 6 termes: S = 2 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1.

D'autre part, en écrivant T = 2 - ( 1 - 1 ) - ( 1 - 1 ) -...., on force le lecteur à considérer un nombre impair de termes de la suite ; on trouve donc 2. Par contre, puisque R = ( 2 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) +..., on est contraint à n'utiliser qu'un nombre pair de termes de la suite pour ne pas laisser une parenthèse ouverte, et on trouve donc 1.

Mais bien sûr, puisque personne ne peut dire si l'infini est un nombre pair ou impair, personne ne peut dire si S vaut 2, ou 1, ou les deux à la fois !