Enigme N° 79
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Vingt-et-une bananes dans l'oreille...

Ahgrûhm est un chimpanzé heureux ! Pour ses 21 ans, il a reçu tout un stock de bananes transgéniques, se conservant indéfiniment.

Il s'est amusé à en faire des tas séparés comportant chacun le même nombre de bananes. Coïncidence : il a alors constaté qu'il y avait 21 façons différentes de procéder, en utilisant dans chaque cas toutes les bananes.
Dans le dernier cas qu'il a essayé, chaque tas comportait 21 fruits. En l'honneur de son anniversaire, il les laissa ainsi et décida à l'avenir de manger un tas chaque jour, ni plus, ni moins.
Mais, sauf incident dramatique, on sait déjà que les bananes fournies ne suffiront pas à nourir Ahgrûhm toute sa vie...

Dans combien de temps faudra-t-il lui en procurer d'autres,
et combien en a-t-il reçu pour ses 21 ans ?

 

Si vous connaissez une énigme amusante ou originale, n'hésitez pas à nous la proposer avec la solution et le nom de l'auteur (si vous le connaissez ; si c'est vous, c'est encore mieux !).
Nous nous ferons un plaisir de la publier dans les semaines à venir !

Proposer une énigme

 

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Pour résoudre cette énigme, il est fort utile (voire indispensable !)
de connaître la propriété suivante :

Pour connaître le nombre de diviseurs d'un nombre (sans nécessairement les déterminer), il suffit de décomposer ce nombre en facteurs premiers.
Par exemple, si on cherche le nombre de diviseurs de 360, on écrira : 360 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5,
puis transcrit cela sous forme de puissances, ce qui donne : 360 = 23 x 32 x 51.
On ne s'intéresse plus alors qu'aux puissances, en l'occurence ici 3, 2 et 1, et on ajoute 1 à chaque puissance, qui deviennent donc 4, 3 et 2.
On multiplie les nombres obtenus, ce qui donne 4 x 3 x 2 = 24 diviseurs
(en l'occurence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, et 360).

Ahgrûhm peut ranger ses bananes en tas égaux de 21 façons différentes,
ce qui signifie que le nombre N de bananes a 21 diviseurs.
Or 21 ne se décompose que de deux façons sous la forme d'une multiplication :
21 = 1 x 21 (ou 21 x 1) ou alors 21 = 3 x 7 (ou 7 x 3).
N est donc de la forme a20, où a est un nombre premier
(et il aura ainsi 20 + 1 = 21 diviseurs),
ou alors il est de la forme a2 x b6, a et b étant premiers, et il aura bien là encore
( 2 + 1 ) x ( 6 + 1 ) = 21 diviseurs.

Cependant, N est divisible par 21, puisqu'Ahgrûhm a finalement fait des tas de 21 fruits ; donc il est divisible par 3 et par 7, et l'on peut affirmer que la décomposition en facteurs premiers de N comporte des 3 et des 7...

Le premier cas : N = a20 est donc impossible,
et N est forcément de la forme N = 32 x 76 ou de la forme 36 x 72.

Si N = 32 x 76, N = 1 058 841, ce qui, même en mangeant 21 bananes par jour, correspondrait à de la nourriture pour 1 058 841 : 21 = 50 421 jours, soit environ 138 ans. Ahgrûhm aurait donc alors 159 ans, ce qui est une espérance de vie peu probable pour un chimpanzé, à fortiori alimenté en bananes transgéniques...

Le deuxième cas : N = 36 x 72 nous donne 35721 bananes, soit 1701 jours de nourriture,
soit environ 4 ans et 8 mois.

Il faudra donc lui racheter des bananes dans 1701 jours
et il en a reçu 35721 pour ses 21 ans.