La solution "mathématiquement élégante" consiste à dire à tous les occupants de l'hôtel de déménager, et de se rendre dans la chambre dont le numéro est le double de celle qu'ils occupent actuellement. Les occupants des chambres 1, 2, 3, 4,... se rendront donc dans les chambres 2, 4, 6, 8,...etc.
Quel que soit le numéro de la chambre, c'est possible, puisque le nombre de chambres est infini. Mais en multipliant le numéro de la chambre par 2, on obtient forcément un nombre pair. Toutes les chambres dont les numéros sont pairs seront alors occupées, et toutes celles dont les numéros sont impairs seront libres ; et comme il y a une infinité de nombres impairs, il y aura la place nécessaire pour loger les nouveaux arrivants.

Une autre solution consiste à faire sortir tous les occupants de l'hôtel, et à leur dire de se mélanger avec le groupe des nouveaux arrivants. Celui ci sera alors constitué d'une infinité d' anciens clients et d'une infinité de passagers, mais cela ne fera toujours qu'une infinité de personnes...
Et comme il y a une infinité de chambres, tout le monde pourra donc se loger !