Les énigmes du chat...

Enigme N° 57

	La corde au cou... Félicien n'est pas franchement à l'aise... Bien rasé et dans un costume neuf, il s'était levé tôt ce matin là pour demander au Docteur Krankenhof la main de sa fille Gertude ; mais décidemment, les choses prenaient mauvaise tournure... Devant lui, agitant dangereusement des éprouvettes fumantes, Krankenhof hurlait d'une voie suraiguë... " Espèce de petit cafard malade ! Tu oses demander à moi, le fabuleux Docteur Krankenhof, la main de ma chère petite fille unique !?
Sais-tu que je pourrais te dissoudre dans l'acide pour moins que ça !? Mais tu as de la chance, petit vermisseau gluant... Le prodigieux Docteur Krankenhof a un coeur, lui aussi ! Alors écoute moi bien... Demain, c'est l'anniversaire de ma petite mère chérie...
Sur son gâteau, je ne sais pas encore si je disposerai les bougies sous formes d'hexagones centrés, ou de triangles équilatéraux imbriqués les uns dans les autres... Mais si tu apportes exactement le nombre de bougies nécessaires, je t'accorderai la main de Gertrude... Sinon... il y a tellement d'expériences que j'ai toujours rêvé de tenter sur un être humain..."
En supposant que Félicien ait toujours envie d'épouser Gertrude, combien devra-t-il impérativement apporter de bougies ?

Si vous connaissez une énigme amusante ou originale, n'hésitez pas à nous la proposer avec la solution et le nom de l'auteur (si vous le connaissez ; si c'est vous, c'est encore mieux !).
Nous nous ferons un plaisir de la publier dans les semaines à venir !

La vraie question est bien sûr : quel est le nombre de bougies nécessaires pour qu'on puisse à la fois constituer des hexagones centrés, ou des triangles équilatéraux imbriqués...

Pour pouvoir constituer des hexagones, il faut :
1, 1+6, 1+6+12, 1+6+12+18, 1+6+12+18+24, ...,
soit 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397,... bougies.

Pour constituer des triangles équilatéraux, il faut :
1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, ...,
soit 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190,... bougies.

La mère du Docteur n'ayant évidemment pas un an,
il suffira à Félicien d'apporter 91 bougies...

Remarques:
La formule donnant tous les nombres "hexagonaux" est 3n(n-1)+1, en prenant n = 1, 2, 3, 4...
Pour les nombres "triangulaires", c'est bien sûr n(n+1)/2...
Y a-t-il d'autres nombres plus grands qui soient à la fois triangulaires et hexagonaux ? Je vous laisse chercher, mais il n'y en a pas d'autres avant 600 ; ce qui exclut toute possibilité raisonnable pour la mère du Docteur...

Une curiosité : 91 est aussi le premier nombre qui soit à la fois "hexagonal" et "rectangulaire", j'entends par là qu'on puisse en disposer les éléments (ici, les bougies) sous la forme d'un rectangle de largeur supérieure à 1 (en l'occurence, 7 lignes de 13 bougies)... Il est vrai que les nombres hexagonaux sont apparemment souvent des nombres premiers...