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Dans la solution ci-dessous, je détaillerai au
maximum les calculs, sachant toutefois qu'il est possible
de résoudre l'énigme en utilisant 3 inconnues
seulement. Notons R1, R2,
R3 et R4
les âges successifs de Robert aux différents
instants, et S1, S2,
S3 et S4
les âges successifs de Raymonde. R
représente l'âge actuel de Robert, et S
l'âge actuel de Raymonde.
"Lorsque Robert, mon mari, avait (R1)
un an de plus que l'âge que j'avais (S1)
quand Robert avait (R2) deux
fois l'âge que j'avais (S2)
au moment où Robert avait (R3)
la moitié de mon âge actuel (S),
j'avais (S3) la moitié
de l'âge que Robert avait (R4)
quand j'avais (S4) la moitié
de l'âge que Robert a maintenant (R).
Bien sûr, il faut savoir qu'à nous deux, nous
avons plus de 60 ans mais moins de 120 ans !"
Notons enfin (d)
la différence d'âge (positive ou négative)
entre Raymonde et Robert (d = R-S).
Commençons par traduire en équations
la première moitié de la première phrase
(jusqu'à la virgule) en lisant de droite à gauche...
R3 = S/2 ;
S2 = R3 - d = S/2 - d
R2 = 2 x S2 = S - 2d
S1 = R2 - d = S - 3d
R1 = S1 + 1 = S - 3d + 1
Traduisons maintenant la deuxième
moitié de la première phrase (après la
virgule) en lisant là aussi de droite à gauche...
S4 = R/2
R4 = S4 + d = R/2 + d
S3 = R4/2 = R/4 + d/2
Au moment auquel fait référence
la phrase ("Lorsque....., j'avais...."),
Robert était âgé de R1
= S - 3d + 1, et Raymonde était âgée
de S3 = R/4 + d/2.
Mais la différence d'âge entre Robert et Raymonde
était la même que maintenant,
donc R1 = S3 + d
donc S - 3d + 1 = R/4 + d/2 + d
soit en multipliant par 4 les deux membres,
4S - 12d + 4 = R + 2d + 4d.
Remplaçons R par S + d :
4S - 12d + 4 = S + d + 2d + 4d ;
et donc 3S + 4 = 19d
Combien 19d
peut-il valoir sachant que S = (19d
- 4)/3 doit être entier ? Notons déjà
que d>0, car sinon l'âge de Simone serait négatif...
Donc Robert est plus âgé que Raymonde, et par
extension, Raymonde a moins de 60 ans (sinon, la somme de
leurs âges serait supérieure à 120 ans).
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d
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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19d
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19
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38
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57
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76
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95
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114
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133
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152
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171
|
190
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S = (19d-4)/3
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5
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11.33
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17.66
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24
|
30.33
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36.66
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43
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49.33
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55.66
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62
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Nous ne garderons bien sûr que les
cas où l'âge de Raymonde est un nombre entier.
Pourquoi ne pas poursuivre le tableau ? Déjà
nous constatons que la dernière solution est impossible,
car Raymonde aurait plus de 60 ans (et cela ne ferait que
s'aggraver dans les cases suivantes). Il reste donc 3 possibilités.
Indépendamment de toute considération morale,
le cas (1 ; 19 ; 5) est impossible, car Robert aurait alors
6 ans. A eux deux, ils auraient donc 11 ans, donc moins de
60 ans !
Le cas (4 ; 76 ; 24) est lui aussi impossible. Robert aurait
28 ans, donc à eux deux, ils auraient 52 ans, donc
moins de 60 ans.
Le dernier cas restant (7 ; 133 ; 43) est-il possible ? Robert
aurait 43 + 7 = 50 ans. A eux deux, ils auraient donc 50 +
43 = 93 ans, qui est bien compris entre 60 et 120. C'est le
bon !
Raymonde
a donc reçu 43 aspirateurs, et Robert a 50 ans.
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